量子 Reed-Muller 码的几何结构与横向逻辑

设计高效且对噪声容错的量子计算协议通常始于对量子纠错码及其本征逻辑操作的理解。最简单的逻辑操作类别为横向门，这些操作天然具有容错性。本文旨在通过利用其经典对应项的已知性质来表征量子 Reed-Muller（RM）码的横向门。我们首先通过布尔超立方及其相关子立方复合体建立了量子 RM 码的新几何表征。具体而言，量子 RM 码的一组稳压生成器可描述为作用于特定维数子立方上的横向 X 和 Z 算子。这种表征使我们能够定义由作用于特定维数子立方上的单量子 $\pi/2^k$ Z 旋转组成的子立方算子。我们首先描述了子立方算子对代码空间作用：根据子立方的维数，这些算子要么（1）在代码空间上实现逻辑恒等操作，要么（2）实现非平凡逻辑，要么（3）将状态从代码空间中旋转出来。其次，而且更令人惊讶的是，我们发现这些算子实现的逻辑对应于具有显式且简单组合描述的多受控 Z 门电路。总体而言，这一系列结果为量子 RM 码的自然横向算子提供了全面理解。