计算 $S^2_n(X)$ 的深度为 3 的算术电路与 Graham-Pollak 定理的推广

我们考虑使用“线性型之积的和”形式的深度为 3 的算术电路来计算第二初等对称多项式 $S^2_n(X)$ 的问题。我们在多个域上考虑此问题，并精确确定了所需的乘法门数量。下界是在允许线性型带有常数的非齐次电路中证明的；上界是在齐次模型中证明的。对于实数和有理数，所需的乘法门数量恰好为 $n-1$；在大多数其他情况下，为 $\ceil{n/2}$。此问题与代数图论中的 Graham-Pollak 定理相关。特别地，我们的结果回答了 Babai 和 Frankl 的以下问题：覆盖完全图的每条边奇数次所需的最少完全二部图数量是多少？我们证明，对于无穷多个 $n$，答案是 $\ceil{n/2}$。