自由度：搜索代价与自一致性

模型自由度（$\df$）是统计学中的基本概念，因为它量化了拟合过程的灵活性，并且在模型选择中不可或缺。为探究 $\df$ 与拟合过程中独立变量个数之间的差距，\textcite{tibshiraniDegreesFreedomModel2015} 引入了\emph{搜索自由度}（$\sdf$）概念以计入模型选择期间的搜索代价。然而，该定义有两个局限：它未考虑增广空间中的拟合过程，且未对 $\sdf$ 和 $\df$ 使用相同的拟合过程。我们提出\emph{修正搜索自由度}（$\msdf$）以直接计入在原始或增广空间中搜索的代价。我们针对多种拟合过程检验了该定义，包括经典线性回归、样条方法、自适应回归（最优子集与 lasso）、回归树以及多元自适应回归样条（MARS）。在许多 $\sdf$ 适用的场景中，$\msdf$ 退化为 $\sdf$。然而，对于如 lasso 的某些过程，$\msdf$ 提供了关于搜索代价的新视角。对于如 MARS 的某些复杂过程，$\df$ 在模型拟合期间已被预先确定，但最终拟合过程的 $\df$ 可能与预先确定的不同。为研究此差异，我们引入\emph{名义} $\df$ 与\emph{实际} $\df$ 的概念，并定义\emph{自一致性}性质，即当这两个 $\df$ 之间无差距时发生自一致性。我们提出一种针对 MARS 的修正过程以对齐这两个 $\df$，并通过大量模拟与两个真实数据应用展示了改进的拟合性能。