箭头型半正定矩阵的分解及其在拓扑优化中的应用
最优化与控制
2021-05-19 v1 数值分析
数值分析
摘要
Kojima 等人 \cite{kim2011exploiting} 近来利用具有弦稀疏图的矩阵的大矩阵不等式分解，来缩减大规模半定优化(SDO)问题的规模，从而提高标准 SDO 软件的效率。这种分解的一个副产品是引入了新的稠密小尺寸矩阵变量。我们将证明，对于满足适当假设的箭头型矩阵，附加的矩阵变量具有秩一，因此可以用同维的向量变量替代。这带来了标准 SDO 软件效率的显著提升。我们将此思想应用于表述为大规模线性半定优化问题的拓扑优化问题。数值算例将展示，与原大规模问题相比，分解后问题的求解实现了巨大的加速。在我们的数值例子中，分解后问题的复杂度呈线性增长，而原问题表述的复杂度增长超过三次。我们还将给出我们的方法与标准区域分解理论的联系，并说明附加的向量变量是相应离散 Steklov-Poincaré 算子的结果。
引用
@article{arxiv.1911.09412,
title = {Decomposition of arrow type positive semidefinite matrices with application to topology optimization},
author = {Michal Kocvara},
journal= {arXiv preprint arXiv:1911.09412},
year = {2021}
}