判定可行性与最小化缠结高度

我们研究以下组合问题。给定一组$n$条$y$单调的\emph{导线}，一个\emph{缠结}决定了导线在若干水平\emph{层}上的顺序，使得任意两个连续层上的导线顺序仅通过相邻导线的交换而不同。给定一个\emph{交换}多重集~$L$（即导线的无序对）和导线的初始顺序，如果每对导线交换的次数恰好与~$L$指定的次数相同，则缠结\emph{实现}了~$L$。\textsc{List-Feasibility}是寻找实现给定列表~$L$的缠结的问题（如果存在）。\textsc{Tangle-Height Minimization}是寻找实现给定列表且使用最少层数的缠结的问题。\textsc{List-Feasibility}（因此\textsc{Tangle-Height Minimization}）是NP难的[Yamanaka, Horiyama, Uno, Wasa; CCCG 2018]。我们证明，即使每对导线只交换常数次，\textsc{List-Feasibility}仍然是NP难的。在积极方面，我们提出了一种\textsc{Tangle-Height Minimization}算法，该算法在$O((2|L|/n^2+1)^{n^2/2} \cdot \varphi^n \cdot n)$时间内为$n$条导线和给定的交换列表~$L$计算出最优缠结，其中$\varphi \approx 1.618$是黄金比例，$|L|$是~$L$中的总交换次数。从该算法出发，我们推导出一个更简单、更快的版本来求解\textsc{List-Feasibility}。我们还利用该算法证明\textsc{List-Feasibility}属于NP，并且关于导线数量是固定参数可处理的。对于\emph{简单}列表（其中每次交换最多出现一次），我们展示了如何在$O(n!\varphi^n)$时间内求解\textsc{Tangle-Height Minimization}。