相对误差 CUR 矩阵分解

许多数据分析应用涉及大型矩阵，并利用少量“分量”来近似该矩阵。通常，这些分量是矩阵行和列的线性组合，因此难以根据输入数据的原始特征进行解释。在本文中，我们提出并研究了显式用数据矩阵的少量列和/或行表示的矩阵近似，从而更易于根据原始数据进行解释。我们的主要算法结果是两种随机算法，它们以 $m \times n$ 矩阵 $A$ 和秩参数 $k$ 作为输入。在第一种算法中，选择 $C$，并令 $A'=CC^+A$，其中 $C^+$ 是 $C$ 的 Moore-Penrose 广义逆。在第二种算法中，选择 $C$、$U$、$R$，并令 $A'=CUR$。（$C$ 和 $R$ 是由 $A$ 的实际列和行组成的矩阵，$U$ 是它们交集的广义逆。）对于每种算法，我们证明以至少 $1-\delta$ 的概率：$$||A-A'||_F \leq (1+\epsilon) ||A-A_k||_F,$$ 其中 $A_k$ 是通过截断 $A$ 的奇异值分解 (SVD) 提供的“最佳”秩 -$k$ 近似。$C$ 的列数和 $R$ 的行数是 $k$、$1/\epsilon$ 和 $\log(1/\delta)$ 的低次多项式。我们的两种算法是首批具有相对误差保证的此类低秩矩阵近似多项式时间算法；此前，在某些情况下，甚至不知道此类矩阵分解是否存在。我们的两种算法都很简单，所需时间与近似计算 $A$ 的前 $k$ 个奇异向量所需的时间相当，并且使用了一种称为“子空间采样”的新颖直观采样方法。