广义 $SU(2)$ Yang-Mills-Higgs 模型中含有标量依赖耦合 $\theta$ 项的 BPS 方程

我们考虑最一般的 $SU(2)$ Yang-Mills-Higgs 模型，包含至一阶导数项平方的项，即具有额外标量依赖耦合 $\theta$ 项的广义 $SU(2)$ Yang-Mills-Higgs 模型。采用 BPS 拉格朗日方法，我们通过取最一般的 BPS 拉格朗日密度，尝试求出 BPS 单极子与双极子的 Bogomolny 方程。我们获得更一般的 Bogomolny 方程及其所有标量依赖耦合之间的关系。从这些方程可见，存在以实数常数 $\gamma$ 为参数的 BPS 单极子解族；而对于 BPS 双极子则存在一个额外参数，即 $\theta$ 项的耦合。有趣的是，对于单个 BPS 双极子，我们发现 $\theta$ 项的耦合值仅对 BPS 双极子的电荷产生额外贡献，这符合 1979 年《物理字母》上 Witten 的结果，从而可以确定我们获得的是 BPS 单极子还是 BPS 双极子。