覆盖立方体与最近向量问题

我们提供了目前最快的随机化(1+epsilon)-近似算法，用于无穷范数下的最近向量问题。我们方法的运行时间依赖于维度n和近似保证epsilon，为$2^{O(n)} (\log 1/\epsilon)^{O(n)}$，这改进了之前Blömer和Naewe最优算法的$(2+1/\epsilon)^{O(n)}$运行时间。我们的算法基于以下几何覆盖问题的解，该问题本身也值得关注：给定epsilon in (0,1)，需要多少个椭球才能覆盖立方体$[-1+\epsilon, 1-\epsilon]^n$，且所有椭球都包含在标准单位立方体$[-1,1]^n$内？对于椭球限制为轴平行的情况，我们给出了一个几乎最优的界。然后，我们将覆盖方案应用于该覆盖问题的一个变体，其中希望用平行六面体覆盖$[-1+\epsilon,1-\epsilon]^n$，且这些平行六面体在缩放两倍后仍包含在单位立方体内。由此，我们得到一种方法，可将无穷范数下最近向量问题的任何2-近似算法提升为具有所需运行时间的(1+epsilon)-近似算法。