高维 PCA 中主要特征值的 Tracy-Widom、Gaussian 与 Bootstrap 近似

在特定条件下,样本协方差矩阵的最大特征值会在样本大小 $n$ 和数据维度 $p$ 按比例发散时发生已知的相变。 在亚临界区域,该特征值的波动为 $n^{-2/3}$ 可用 Tracy-Widom 分布近似;而在超临界区域,其波动为 $n^{-1/2}$ 可用 Gaussian 分布近似。然而,确定给定数据集所属哪个 regime 的统计问题尚未得到解决。我们发展了新的测试框架和程序以解决这一问题。特别地,我们演示了该程序具有受控的渐近水平,并且在某些备选方案下具有功效一致性。此外,该测试程序使我们能够设计一种新的 bootstrap 方法来近似主要样本特征值函数值在亚临界 regime 中的分布——这是首个受理论保证支持的此类方法。