整数规划中的相关突变

尽管近期理论进步显著降低了整数规划（IP）的复杂性，但启发式方法仍是解决这一困难问题的主导手段。本研究旨为整数演化策略（Integer Evolution Strategies, IESs）奠定基础，后者是一类专为连续空间设计的随机搜索启发式方法。虽然 IESs 在实践中已表现出色，但通过离散化并对连续算子进行复杂补丁处理，同时坚持使用 $\ell_2$-范数作为操作基石，才能处理整数规划问题。我们为离散搜索建立基础，采用 $\ell_1$-范数，考虑合适的步长尺度，并探讨替代度量以衡量整数格上的相关性。我们聚焦于无界整数决策变量的突变分布。我们简要讨论了由均匀分布和二项分布诱导的若干离散概率分布，这些分布具有较少吸引人的理论属性，随后聚焦于截断正态分布（Truncated Normal, TN）和双几何分布（Double Geometric, DG）。我们探索了其理论特性，包括熵函数，并提出了生成可扩展相关突变分布的程序。我们的研究伴随大量数值仿真，这些仿真一致支持 DG 分布更适合无界整数搜索的论点。我们将理论视角与实证证据联系起来表明，采用相关 DG 突变的 IES 在非可分离二次整数规划中优于其他策略。我们得出结论，虽然用 DG 分布取代默认的 TN 分布在理论上是合理且在实践中有益的，但 truly crucial 的变革在于采用 $\ell_1$-范数而非 $\ell_2$-范数。