镜像下降法的收敛速率界：积分二次约束与 Bregman 散度

本文研究凸优化中著名算法——镜像下降（MD）法的收敛分析。构建了基于积分二次约束（IQC）的分析框架，用以分析连续时间与离散时间下具有强凸目标函数的 MD 法收敛速率。我们将寻找 MD 算法收敛速率的问题分别转化为两种方案下线性矩阵不等式（LMI）的可行性问题的求解。特别地，在连续时间情形下，我们表明当将 Popov 判据应用于该问题的适当重构形式时，通常用作该算法 Lyapunov 函数的 Bregman 散度函数，是与 Popov 判据相关联的 Lyapunov 函数类的一个特例。因此，应用 Popov 判据及其与其他 IQC 的组合，可获得保守性降低的收敛速率界。我们还通过实例说明所推导的收敛速率界可以是紧的。