征服多元宇宙：River 投票方法与高效的并行宇宙平局打破

民主依赖于通过投票做出集体决策。此外，投票程序还有进一步的应用，例如在人工智能训练中。确定公平选举获胜者的一个基本准则是所有备选方案被平等对待：这称为中立性。已确立的 Ranked Pairs 投票方法无法同时保证中立性并在存在平局的情况下保持计算可处理性。River 是近期引入的投票方法，与 Ranked Pairs 共享理想属性，并具有额外优势，例如一种与抗操纵性相关的新属性。Ranked Pairs 和 River 均使用加权边际图来建模选举。选举中的平局可能导致等边际边。在这种情况下，必须采用平局打破方案。许多平局打破方案违反中立性或其他重要属性。一种保持中立性的平局打破方案是并行宇宙平局打破（Parallel Universe Tiebreaking, PUT）。Ranked Pairs 配合 PUT 的计算是 NP-hard 的。本论文的主要结果表明，配合 PUT 的 River 可在多项式最坏情况运行时间内计算：我们可以通过运行具有 specially constructed 边排序的 River 来检查一个备选方案是否为 River PUT 获胜者。为构造此排序，我们引入了半 River 图，其中包含在任意平局打破下可能出现在任何 River 图中的边。在此图上，我们可以通过对每个备选方案应用 Prims 算法的变体来计算 River 获胜者。此外，我们给出一个算法，将 River 的先前朴素运行时间从 $\mathcal{O}(n^4)$ 改进至 $\mathcal{O}(n^2 \log n)$，其中 $n$ 为备选方案数量。