关于破解 $2^n$ 上界的最近向量问题

最近向量问题（CVP）是格子中的一个计算问题，是现代密码学的核心问题。近几年，随着基于格子的密码系统即将实际部署，围绕其细致复杂度研究取得了显著进展。一个主要的 motivating 问题是是否存在时间复杂度为 $(2-\varepsilon)^n$ 的算法针对秩为 $n$ 的格子，或者是否可以通过 SETH 予以否定。以往的工作通过改变距离度量标准（从标准的 $\ell_2$ 范数转向其他 $\ell_p$ 范数）来接近负面答案，证明了在 SETH 下 $2^{(1-o(1))n}$ 的下界。此外，也建立了针对 $\ell_2$（以及任何偶数 $p$）的下界的障碍。本文我们给出积极结果，针对一个自然的特殊情况进行研究，即 $(0,1)$-$\mathsf{CVP}$，其中格子向量被限制为基向量子集和（即所有系数为 0 或 1）。所有先前的 hardness 结果都适用于此问题，之前的算法技术也无法从中受益。我们证明了以下结果，这些结果源于新的从 $(0,1)$-$\mathsf{CVP}$ 到加权 Max-SAT 和最小权重 $k$-Clique 的归约。1. 一个时间复杂度为 $O(1.7299^n)$ 的精确 $(0,1)$-$\mathsf{CVP}_2 在欧几里得范数下的算法，突破了自然的$2^n$障碍，只要所有输入向量坐标的绝对值为$2^{o(n)}$。2.$(0,1)$-$\mathsf{CVP}_p 与 Max-$p$-SAT 在所有偶数 $p$ 上的计算等价性。3. 来自细致复杂度的最小权重-$k$-Clique 猜想及其众多后果（包括 APSP 猜想）现在可以由格子问题的硬度，即 $(0,1)$-$\mathsf{CVP}_2 来支持。