Concave tents：构建大类非凸优化问题凹化重构的新工具

对非凸集上的非线性函数进行优化具有挑战性，因为求解凸松弛可能导致显著的松弛间隙和不可行解，这些解必须“圆化”为可行解，往往会带来目标函数性能的不可控损失。正因如此，若目标函数为线性甚至凹函数，凸包尤其有用，因为凹优化对可行集的凸包保持不变。我们提出凹 tent 的概念，这是原始目标函数的凹近似，且在可行集上与该目标函数一致，从而允许对问题进行凹化重构。因此，凹 tent 是凹扩展的一个特例。在本文中，我们针对一大类目标函数（即共轭优化问题的最优值函数）推导这些凹 tent。因此，求解我们的凹 tent 需要求解一个共轭问题。我们可以通过求解共轭对偶问题来求得 supergradient，从而实现与求值相同复杂度的微分。对于包含在其凸包极点中的可行集，我们在变量的原始空间中构造这些凹 tent。对于一般可行集，我们提出一种双重提升策略，即将原始优化问题提升到更高维空间，在该空间中可以轻松构造凹 tent。我们探讨了所构造的凹 tent 与凹包络以及基于凹二次更新的朴素凹 tent之间的关系。基于这些思想，我们提出一种用于求解一类鲁棒离散二次优化问题的 primal 启发式方法，可代替经典的圆化技术。数值实验表明，我们的技术在分支-界限求解方案中作为上界程序时具有一定益处。