计算矩阵指数及一类相关有限时域 Gramian 的 Cholesky 因子
数值分析
2025-05-27 v3 数值分析
最优化与控制
摘要
本文提出一种高效数值方法，用于同时计算矩阵指数以及 Cholesky 分解形式的有限时域可控性 Gramian。该方法适用于中等规模的通用稠密矩阵，并且无需计算完整乘积即可给出 Gramian 的 Cholesky 因子。它是用于逼近矩阵指数的缩放—平方法的一种推广，并利用类似的 Gramian 加倍公式一次性算出两者。由此所需的计算量保持适中。最重要的是，给出了严格的向后误差分析，保证该逼近在双精度下精确到舍入误差水平。这一精度在大量标准测试算例上得到了实际验证。该方法已在 Julia 包 FiniteHorizonGramians.jl 中实现，可依据 MIT 许可证在线获取。该包中包含了复现实验结果的代码，以及确定最优方法参数的代码。因此该分析可容易地适配于不同的有限精度算术。
引用
@article{arxiv.2310.13462,
title = {Computing the matrix exponential and the Cholesky factor of a related finite horizon Gramian},
author = {Tony Stillfjord and Filip Tronarp},
journal= {arXiv preprint arXiv:2310.13462},
year = {2025}
}