对称张量的线性时间与多对数精度完全分解
数据结构与算法
2025-03-12 v2 计算复杂性
数值分析
数值分析
摘要
我们研究对称张量分解，即把输入的3阶对称张量T分解为r个向量u_i的3阶张量幂之和，其中u_i是\C^n中的向量。为了获得高效的分解算法，有必要要求u_i具有额外的性质。本文中我们假设u_i线性无关。这意味着r至多为n，即T的分解是欠完备的。我们进一步假设r=n（我们计划在后续论文中将此工作推广到r严格小于n的情形）。我们针对以下问题给出一个随机化算法：给定T、精度参数epsilon以及张量条件数的上界B，以高概率输出向量u'_i，使得u_i与u'_i相差至多epsilon（在l_2范数下，并允许置换和相位乘法）。我们算法的主要新颖之处在于：(1) 我们提供了该问题的首个在有限算术计算模型下工作、且仅需多对数（关于n、B和1/epsilon）位精度的算法。(2) 此外，这也是首个在输入张量大小上以线性时间运行的算法。对于所有精度参数epsilon = 1/poly(n)，它需要O(n^3)次算术运算。
引用
@article{arxiv.2211.07407,
title = {Complete Decomposition of Symmetric Tensors in Linear Time and Polylogarithmic Precision},
author = {Pascal Koiran and Subhayan Saha},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.07407},
year = {2025}
}
备注
Updated with the version accepted to Theoretical Computer Science