关于“求解开普勒方程的高效代码：椭圆情形”的评论

在最近的一篇 MNRAS 文章中，Raposo-Pulido 和 Pelaez（RPP）设计了一种方案，用于为使用经典和修正 Newton-Raphson 方法求解椭圆开普勒方程提供非常接近的种子值。这显著减少了达到给定精度所需的迭代次数。然而，RPP 还对其方法的误差做出了一些不正确的强烈断言。特别地，他们声称其精度总能达到 $\sim5\varepsilon$ 的水平，其中 $\varepsilon$ 为机器精度（例如在双精度下 $\varepsilon=2.2\times10^{-16}$），并且该结果对所有偏心率 $e<1$ 和平均近点角 $M\in[0,\pi]$ 的值都成立，包括 $e$ 和 $M$ 分别任意接近 $1$ 和 $0$ 的情形。然而，我们从数值和解析两方面证明，任何用于开普勒方程的经典或修正 Newton-Raphson 方法的实现，包括 RPP 所描述的那些，其极限精度均为 $\sim\varepsilon/\sqrt{2(1-e)}$ 量级。因此这些实现的误差在 $e\to1$ 极限下发散，并与 RPP 给出的不正确结果大相径庭。尽管存在这些缺陷，RPP 方法仍可作为达到此类极限精度的一个非常高效的选项。我们还给出了适用于任何求解开普勒方程算法精度的极限，包括不使用导数的如二分法之类的方案。此外，类似结果在双曲开普勒方程中也得到了证明。本工作所描述的方法可为设计更精确的开普勒椭圆与双曲方程解提供指导。