多维能量景观的地形特征刻画

在优化、反演理论、神经网络、计算化学及其他诸多问题中，一个基本问题是对高维函数的几何特征刻画。在反演计算中，人们旨在刻画满足数据（及其他约束）的模型集合。若数据失配函数为单峰函数，则可通过局部优化方法找到其峰值，并通过估计该峰值处的导数来刻画其宽度（与拟合数据的模型范围相关）。另一方面，若存在局部极值，则会引发一系列有趣且困难的问题：与全局极值相比，局部极值是否重要，或者能否在不显著损失信息的情况下（例如通过平滑）将其消除？局部极值的数量是否足够少，以至于可以通过局部优化进行枚举？这些局部极值的吸引域是什么？两个极值之间能否通过一条不上坡的路径相连？整个问题能否简化为对局部极值及其吸引域的枚举？对于局部病态函数，局部优化的过早收敛可能会与局部极值的存在相混淆。要解决这些问题，需要获取所研究函数的地形信息。但在许多应用中，这些函数可能包含数百或数千个变量，且只能逐点求值（例如通过某种数值方法）。本文描述了利用应用于随机选取初始模型的局部优化方法，来分析高维函数地形的系统性（但通用的）方法。我们提供了若干函数地形的定量度量，以及误差估计，这些度量在实际问题中已被证明是有用的。