线性动力系统的因果结构恢复：一种基于 FFT 的方法

从数据中学习因果效应是一个基础且被广泛研究的问题，尤其当因果关系本质为静态时。然而，当存在动态依赖，即实体间跨时间存在依赖时，因果效应较少被探索。与静态情形相比，从时间序列观测中识别动态因果效应计算代价高昂。我们证明，向量自回归（VAR）模型因果结构恢复的计算复杂度为 $O(Tn^3N^2)$，其中 $n$ 为节点数，$T$ 为样本数，$N$ 为实体间依赖的最大时滞。我们报告一种复杂度降至 $O(Tn^3 \log N)$ 的方法，用于恢复因果结构以获得时间序列的频域（FD）表示。由于 FFT 将全部时间依赖累积于每一频率上，可通过将状态变量视为给定频率下的随机变量来高效进行因果推断。我们进一步证明，对于具有 LTI 交互的系统，do-演算机制可在频域中实现，从而得到经典单门（含环）、前门与后门准则的版本。我们证明，对一大类问题，利用多元 Wiener 投影的图重建具有 $O(n)$ 复杂度的显著计算优势，优于如 PC 算法等重建算法（其复杂度为 $O(n^q)$，$q$ 为最大邻域大小）。该优势源于频依赖 Wiener 系数相位响应的某些显著性质，而任何时域方法均不具备此性质。