单位群上自由代数模形式的有限性

经典结果表明，若graded代数模形式 $M_*(\Gamma)$ 为自由生成，则 $\Gamma$ 必须是正交群 $\operatorname{O}^+(2,n)$ 或单位群 $\operatorname{U}(1,n)$ 的算术子群。Vinberg 和 Schwarzman 证明在正交情形下，当 $n>10$ 时，永远不可能为自由。本文考察剩余的单位情形，证明在仿射二次域上签名为 $(1, n)$ 的Hermitian 格中，至多只有有限个等距类具有自由模形式代数。特别地，当 $n>99$（除 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 情形外，我们需要 $n > 154$），$M_*(\Gamma)$ 对任何 $\operatorname{U}(1,n)$ 的算术子群 $\Gamma$ 永远不可能为自由，从而在一定程度上证实了 Wang 和 Williams 的猜想。作为副产品，我们也建立了反射性模形式的有限性结果。在该证明过程中，我们推导了关于特殊单位群算术子群体积的公式，作为Hermitian 格稳定器的稳定器，推广了针对特殊单位群的主算术子群的 Prasad 体积公式。