突破 $O(\sqrt{T})$ 累积约束违规限制：在约束在线凸优化中实现 $O(\sqrt{T})$ 静态懊悔

考虑约束在线凸优化问题，其中在每个回合，学习者提交一个动作 $x_t \in \mathcal{X} \subset \mathbb{R}^d$，随后揭示一个凸损失函数 $f_t$ 和一个凸约束函数 $g_t$，后者驱动约束 $g_t(x)\le 0$。目标是同时最小化与基准的静态懊悔，后者提前知道所有 $f_t$ 和 $g_t$，并选择一个在所有 $g_t(x)\le 0$ 下均可行的静态最优动作。近期的先行工作 Sinha and Vaze [2024] 提出了具有同时懊悔 $O(\sqrt{T})$ 和累积约束违规（CCV）$O(\sqrt{T})$ 或在特定情况下（例如当 $d=1$ 时）CCV $O(1)$ 的算法。人们普遍认为，当 $d\ge 2$ 时，所有确保懊悔为 $O(\sqrt{T})$ 的算法在最坏情况输入下，CCV 为 $\Omega(\sqrt{T})$。本文我们驳斥了这一观点，证明了当 $d=2$ 时，Vaze and Sinha [2025] 的算法同时实现懊悔 $O(\sqrt{T})$ 和 CCV $O(T^{1/3})$。