块结构整数规划：我们能否不依赖最大系数进行参数化？

我们考虑 4-块 $n$-折整数规划，其可写为 $\max\{w\cdot x: H x=b, l\le x\le u, x\in \mathbb{Z}^{N} \}$，其中约束矩阵 $H$ 由小子矩阵 $A,B,C,D$ 组成，使得 $H$ 的第一行为 $(C,D,D,\cdots,D)$，第一列为 $(C,B,B,\cdots,B)$，主对角线为 $(C,A,A,\cdots,A)$，其余元素均为 $0$。$B=C=0$ 的特例被称为 $n$-折整数规划。先前针对 4-块 $n$-折整数规划及其特例的算法结果通常将 $\Delta$（即 $H$ 中元素的最大绝对值）作为部分参数。本文中，我们探讨将 $\Delta$ 从参数中去除的可能性，即寻找关于 $\log\Delta$ 多项式时间运行的算法。我们表明，假设 $\text{P}\neq \text{NP}$，即使 $A=(1,1,\Delta)$ 且 $B=C=0$，这也是不可能的。然而，若 $A=(1,1,\cdots,1)$ 或 $A\in \mathbb{Z}^{1\times 2}$，或更一般地若 $A\in\mathbb{Z}^{s_A\times t_A}$ 其中 $t_A=s_A+1$ 且矩阵 $A$ 的秩满足 $\text{rank}(A)=s_A$，则成为可能。更精确地：1. 若 $A=(1,\ldots,1)\in \mathbb{Z}^{1\times t_A}$，则 4-块 $n$-折 IP 可在 $(t_A+t_B)^{O(t_A+t_B)}\cdot poly(n,\log\Delta)$ 时间内求解。2. 若 $A\in\mathbb{Z}^{s_A\times t_A}$，$t_A=s_A+1$ 且 $\text{rank}(A)=s_A$，则 4-块 $n$-折 IP 可在 $(t_A+t_B)^{O(t_A+t_B)}\cdot n^{O(t_A)}\cdot poly(\log\Delta)$ 时间内求解；具体而言，若进一步有 $B=C=0$（即 $n$-折整数规划），则其可在线性时间 $n\cdot poly(t_A,\log \Delta)$ 内求解。