有限阶Grothendieck常数的更好界

Grothendieck常数$K_G(d)$界定了$d$维策略相对于$1$维策略在特定优化任务中的优势。它们的应用范围涵盖从近似算法到量子非局域性等多个领域。然而，除$d=2$外，这些常数的值均为未知。本文利用最近发展的Frank-Wolfe方法，提供了对这些常数中的一些进行下界估计的优质候选方案。完整的证明依赖于求解困难的二进制二次优化问题。对于$d\in\{3,4,5\}$，我们构建特定的矩形实例并求解以确认优于先前已知界限的更好界限；通过单调性，这些下界对$\d\leqslant9$的界限均有所改进。对于$d\in\{4,7,8\}$，我们利用优雅的结构构建高度对称的实例以实现更大的界限；然而我们只能对其进行启发式求解。我们还回顾了与贝尔不等式违反关系，并对其进行阐述，以解释广义Grothendieck常数$K_G(d\mapsto2)$作为复杂$d$维量子力学相对于实量子位量子力学优势的度量。受此连接启发，我们还改进了$K_G(d\mapsto2)$的界限。