能带边缘附近的 BCS 超导：单带与多带的精确结果

我们重新审视 Fermi 能量小于 Debye 能量的情形下的 BCS 超导体问题。该情形与诸如 SrTiO$_3$ 等不在 BEC 极限的低密度超导体相关，也与三维超导体约束相关的“形状共振”问题有关。尽管该问题并不新颖，但在低密度极限下缺乏精确结果。在二维中，我们发现低浓度 $n$ 下配对温度 $T_c$ 的初始上升是非解析的，且快于 $n$ 的任何幂次。在三维中，我们也发现 $T_c$ 是非解析的，但在弱耦合时以零斜率起始，在强耦合时以无穷斜率起始。对化学势和态密度能量依赖的自洽处理是获得这些结果的关键要素。我们还给出了多带系统的精确结果，并通过数值模拟证实了我们的解析表达式。