二分二次分配问题解的平均值及与支配分析的联系

本文中，我们在 \emph{二分二次分配问题} 的背景下研究复杂度与支配分析。考察了该问题的两个变体，记为 BQAP1 和 BQAP2。给出了一个用于计算所有解的平均目标函数值 $\mathcal{A}$ 的公式，而计算中位数目标函数值被证明是 NP-hard 的。我们证明任何产生目标函数值至多为 $\mathcal{A}$ 的解的启发式算法，其支配比至少为 $\frac{1}{mn}$。标准 \emph{二次分配问题} 的类似结果是一个开放问题。我们证明，对于任意固定自然数 $a$ 和 $b$ 满足 $\alpha=\frac{a}{b}>1$，计算一个目标函数值不差于 BQAP1 的 $n^mm^n-{\lceil\frac{n}{\alpha}\rceil}^{\lceil\frac{m}{\alpha}\rceil}{\lceil\frac{m}{\alpha}\rceil}^{\lceil\frac{n}{\alpha}\rceil}$ 个解或 BQAP2 的 $m^mn^n-{\lceil\frac{m}{\alpha}\rceil}^{\lceil\frac{m}{\alpha}\rceil}{\lceil\frac{n}{\alpha}\rceil}^{\lceil\frac{n}{\alpha}\rceil}$ 个解的解，是 NP-hard 的。然而，具有支配数 $\Omega(m^{n-1}n^{m-1}+m^{n+1}n+mn^{m+1})$（对于 BQAP1）和 $\Omega(m^{m-1}n^{n-1}+m^2n^{n}+m^mn^2)$（对于 BQAP2）的解可以在 $O(m^3n^3)$ 时间内找到。