夸克偶素中重夸克的平均速度及其幂次 $v^n$

重夸克在夸克偶素中的典型速度是一个被广泛使用的量。本文基于相对论Bethe-Salpeter方程方法，计算了在 $S$ 波或 $P$ 波夸克偶素静止系中重夸克的平均値 ${\overline{|\boldsymbol{q}|^n}}$ 和 $\overline{|\boldsymbol{v}|^n}\equiv v^n$，其中 $\boldsymbol{q}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 分别为三维动量和速度，$n=1,2,3,4$。对于 $J/\psi$ 中的粲夸克，我们得到 $v_{J/\psi}=0.46$、$v^2_{J/\psi}=0.26$、$v^3_{J/\psi}=0.18$、$v^4_{J/\psi}=0.14$；对于 $\Upsilon(1S)$ 中的底夸克，$v_{\Upsilon(1S)}=0.24$、$v^2_{\Upsilon(1S)}=0.072$、$v^3_{\Upsilon(1S)}=0.025$、$v^4_{\Upsilon(1S)}=0.010$。这些数值表明 ${v^n} >{v^{n_1}}\cdot{v^{n_2}}$（其中 $n_1+n_2=n$），这对所有粲偶素和底偶素均成立。我们的结果还显示，若在粲偶素系统中做速度展开，收敛性很差，而对底偶素则良好。基于上述 $v^n$ 数值以及随后得到的关系 $v^n_{4S} > v^n_{3S}> v^n_{2S}>v^n_{1S}$、$v^n_{4P} > v^n_{3P}> v^n_{2P}>v^n_{1P}$ 和 $v^n_{mP}>v^n_{mS}$（$n,m=1,2,3,4$），我们得出结论：高激发夸克偶素比相应的低激发态和基态具有更大的相对论修正，且粲偶素系统中存在较大的相对论修正。