三角曲线 genus 为 3 的 al 函数

三角循环曲线（genus 为 3）是 $\mathbb{Z}_3$ Galois 扩张的 $\mathbb{P}^1$ 覆盖，故可写作方程 $y^3 = f(x) =(x - b_1) (x - b_2) (x - b_3) (x - b_4)$ 的光滑平面曲线。遵循 hyperelliptic 情形的 Weierstrass 方法，本文定义“$\mathrm{al}$”函数及其对应的三个 Jacobian 覆盖的 $\mathrm{al}^{(c)}_r$，其中 $c=0,1,2$，以及有限分支点 $(b_r,0)$ 对应的 $r=1,2,3,4$。该函数族是 Jacobi $\mathrm{sn}$、$\mathrm{cn}$、$\mathrm{dn}$ 函数的推广，满足如下关系：$$\sum_{r=1}^4 \frac{\prod_{c=0}^2\mathrm{al}_r^{(c)}(u)}{f'(b_r)} = 1$$该式推广了 $\mathrm{sn}^2u + \mathrm{cn}^2u = 1$。我们还表明，这可视为 Frobenius theta 同一式的特例。