遍历作用渐近三重性质的不对称性

我们提出：1) 一个混合 $Z ^ 2$-作用，具有如下多重混合性质的不对称性：对于某些交换的保测变换 $S$、$T$ 和序列 $n_j$，对所有可测集 $A$ 有 $$\lim_{j\to \infty}\mu(A\bigcap S^{-n_j}A\bigcap T^{-n_j}A)=\mu(A)^3$$，但存在 $A_0$，$\mu(A_0)=\frac 1 2$，使得 $$\lim_{j\to \infty}\mu(A_0\bigcap S^{n_j}A_0\bigcap T^{n_j}A_0)=0;$$ 2) 具有部分多重混合和部分多重刚性不对称性的 $Z$-作用：$$\lim_{j\to \infty}\mu(A\bigcap T^{k_j}A\bigcap T^{m_j}A)= \frac23 \mu(A)^3+\frac13\mu(A),$$ $$\lim_{j\to \infty}\mu(A\bigcap T^{-k_j}A\bigcap T^{-m_j}A)= \mu(A)^2;$$ 3) 无限变换 $T$，使得对所有 $\mu(A)<\infty$ 的 $A$，$$\lim_{j\to \infty}\mu(A\bigcap T^{k_j}A\bigcap T^{m_j}A)= \frac13\mu(A)$$ 且 $$\lim_{j\to \infty}\mu(A\bigcap T^{-k_j}A\bigcap T^{-m_j}A)=0.$$