更高 Specht 基及其对特定 Hessenberg 变种同调环的 $q$-系列

关于 Hessenberg 变种同调环产生置换表示的猜测（继 Stanley-Stembridge 猜想之后）已被提出，但这些模块的分解在某些情况下之外尚不为人所知。对于 Hessenberg 函数 $h=(h(1),n,\ldots,n)$，Abe、Horiguchi 和 Masuda 在 2017 年确定了该同调环的结构。我们定义了该同调环的两个新基，一个是更高 Specht 基，另一个是置换基。我们还检查了转置 Hessenberg 变种，由 Hessenberg 函数 $h' = ((n-1)^{n-m},n^m)$ 索引，并证明了类似的结果。进一步地，我们给出单项式在新基中的单诺式与 $P$-表块集合之间的组合双射，这些双射受 Gasharov 的工作的启发，说明了这些同调环上 $\mathfrak{S}_n$ 作用与染色对称函数 Schur 展开之间的联系。