二次规划中熵惩罚的近似分析

二次分配问题是一类基本的组合优化问题，在应用中无处不在，但其精确求解是 NP-hard 的。为了绕过这一困境，有人提出通过熵惩罚来正则化此类问题，从而得到计算上可处理的代理问题。确实，这使得高效算法成为可能，尤其是在 Gromov-Wasserstein（GW）问题的背景下，但尚不清楚正则化问题的解在正则化参数较小时能多好地近似原问题的解。在更广泛的通用二次规划（QP）框架下，我们证明对于凹 QP，近似间隙呈指数快速衰减，而对于一般的 indefinite 或凸 QP，衰减速度可能慢至线性。我们的分析建立在 LP 中熵惩罚研究的基础上，利用凹 QP 的新表示，将其与一族具有不同代价的线性规划联系起来。基于这些结果，我们设计了一种算法，给定一个熵 QP 的局部解，返回原 QP 的候选极小值点并加以验证。我们将这些发现应用于一大类离散 GW 问题，得到了新的变分形式以及 GW 文献中首个指数衰减的熵近似界。