近似红蓝集覆盖与最小单调满足赋值

我们为红蓝集覆盖（Red-Blue Set Cover）与电路最小单调满足赋值（MMSA）问题提供新的近似算法。我们的红蓝集覆盖算法实现了 $\tilde O(m^{1/3})$ 近似，改进了 Elkin 和 Peleg 的 $\tilde O(m^{1/2})$ 近似（其中 $m$ 为集合数）。我们对 MMSA$_t$（深度为 $t$ 的电路）的近似算法给出了 $\tilde O(N^{1-\delta})$ 近似，其中 $\delta = \frac{1}{3}2^{3-\lceil t/2\rceil}$，$N$ 为门与变量数。此前对 $t\geq 4$ 的 MMSA$_t$ 无已知非平凡近似算法。我们以这些问题的下界补充上述结果：对红蓝集覆盖，我们提供了从 Min $k$-Union 的近近似保持归约，在 Dense-vs-Random 猜想下给出 $\tilde\Omega(m^{1/4 - \varepsilon})$ 困难度；对 MMSA，我们概述了经 Sherali--Adams 加强的 SDP 松弛具有 $N^{1-\varepsilon}$ 整数间隙的证明，其中当电路深度 $t\to \infty$ 时 $\varepsilon \to 0$。