逼近可靠性壁垒:Cube 对 Cube 测试的近最优分析

Cube 对 Cube 测试是 Raz 与 Safra 著名 Plane 对 Plane 测试的一个变体,其中对每个 $3$ 维仿射子空间 $C$(属于 $\mathbb{F}_q^n$)以某种局部一致的方式赋予一个次数至多为 $d$ 的多项式 $T(C)$:均匀随机取两个相交于一个平面的立方体 $C_1, C_2$,$T(C_1)$ 与 $T(C_2)$ 在 $C_1\cap C_2$ 上一致的概率至少为某个 $\epsilon$。一个令人关注的元素是该测试的可靠性阈值,即最小的 $\epsilon$ 值,使得此种程度的局部一致性蕴含全局结构;亦即,存在一个全局 $d$ 次函数 $g$,使得对至少 $\Omega(\epsilon)$ 比例的立方体有 $g|_{C} \equiv T(C)$。我们证明 cube 对 cube 低次测试的可靠性为 ${\sf poly}(d)/q$。该结果在低次测试中实现了可靠性对 $q$ 的最优依赖,并改进了 Bhangale、Dinur 与 Navon 先前给出的 ${\sf poly}(d)/q^{1/2}$ 的可靠性结果。