测度优化的核镜像近端分析

通过选择适当的函数空间作为非负测度锥的对偶空间，我们在统一框架下研究了一类函数鞍点优化问题，我们称之为混合函数纳什均衡（MFNE），它是几种现有机器学习算法的基础，例如隐式生成模型、分布鲁棒优化（DRO）和Wasserstein重心。当函数空间选为再生核希尔伯特空间（RKHS）时，我们将鞍点优化动力学建模为交互的Fisher-Rao-RKHS梯度流。作为离散时间对应物，我们提出了一种原始-对偶核镜像近端（KMP）算法，该算法在RKHS中使用对偶步，以及原始熵镜像近端步。然后，我们为这类MFNE问题在无限维设置下提供了KMP的统一收敛性分析，建立了确定性情况下的$O(1/N)$收敛率和随机情况下的$O(1/\sqrt{N})$收敛率，其中$N$是迭代次数。作为案例研究，我们将分析应用于DRO，为DRO的鲁棒性和收敛性提供了算法保证。