两层能量平衡模型分析：长时间行为与温室效应

我们研究一个允许地表层与大气之间垂直交换的两层能量平衡模型。地表温度和大气温度的演化方程通过某一层发射的红外辐射（该辐射被另一层捕获）以及所有非辐射垂直能量交换效应耦合。因此，一个关键参数是大气的吸收率，记为 $\epsilon_a$。$\epsilon_a$ 的值关键取决于温室气体：$CO_2$ 和 $CH_4$ 浓度的增加导致大气更不透明，$\epsilon_a$ 值更高。首先，我们证明系统解的全局存在性当且仅当 $\epsilon_a \in (0, 2)$ 时成立，而当 $\epsilon_a > 2$ 时发生有限时间爆破。（注意 $\epsilon_a$ 的物理取值范围是 $(0, 1]$。）其次，我们阐释了 $\epsilon_a \in (0, 2)$ 时的长时间动力学，并证明所有解都收敛到某个平衡点。最后，受物理背景启发，我们研究了平衡点对所涉及参数的依赖性，特别证明了地表温度随 $\epsilon_a$ 增加而升高。这是温室效应的关键数学表现。