对角约束半定规划的 $\widetilde{\mathcal{O}}(m/\varepsilon^{3.5})$ 代价算法

我们研究带对角约束的半定规划。该类问题出现在组合优化中，并在电路设计、无线网络中的信道分配、相位恢复、协方差矩阵估计和低阶控制器设计等工程领域有广泛应用。在本文中，我们给出一种将该问题求解至 $\varepsilon$ 精度的算法，其运行时间为 $\widetilde{\mathcal{O}}(m/\varepsilon^{3.5})$，其中 $m$ 为代价矩阵中非零元素的个数。我们改进了 Arora 和 Kale 此前最佳的 $\widetilde{\mathcal{O}}(m/\varepsilon^{4.5})$ 运行时间。作为我们结果的推论，给定一个具有 $n$ 个顶点和 $m \gg n$ 条边的 Max-Cut 问题实例，我们的算法应用于 Max-Cut 的标准 SDP 松弛时，可在 $\widetilde{\mathcal{O}}(m/\varepsilon^{3.5})$ 时间内返回一个 $(1 - \varepsilon)\alpha_{GW}$ 割，其中 $\alpha_{GW} \approx 0.878567$ 为 Goemans-Williamson 近似比。我们通过将随机方差缩减框架应用于 Arora-Kale 算法，并构造一个常精度估计器来维护原始迭代变量，从而获得该运行时间。