基于有限元和Riesz内积表示的网格依赖最速下降法的迭代次数估计

现有的基于梯度的优化方法实现通常假设问题是在欧几里得空间中提出的。当在函数空间上求解最优问题时，泛函导数则相对于$\ell^2$内积而非函数空间诱导的内积被不精确地表示。这种误差表现为求解优化问题所需迭代次数对网格的依赖性。本文针对一个简单且通用的离散优化问题，推导了该迭代次数的解析估计。所分析的系统是应用于有限元问题的最速下降法。该估计基于康托罗维奇不等式和伽辽金质量矩阵条件数的一个上界。计算机模拟验证了迭代次数估计。对于一个受偏微分方程约束的更复杂优化问题，也发现了类似的数值结果。相对于连续控制空间诱导的内积来表示泛函导数，可实现与网格无关的收敛。