图聚类的 Lloyd 算法推广

聚类是数据科学诸多领域中的常见问题，在生物学与生物信息学、理解化学结构、图像分割、构建推荐系统以及许多其他领域均有应用。尽管存在多种不同的聚类变体（基于给定距离或图结构、概率分布或数据密度），我们在此考虑图中节点的聚类问题，其动机源于求解稀疏线性系统时多重网格与区域分解方法中聚合离散自由度的需求。具体而言，我们考虑在稀疏矩阵图中形成平衡簇以用于代数多重网格，尽管该算法具有普遍适用性。基于 Bellman-Ford 算法的推广，我们将用于划分 Rn 子集的 Lloyd 算法一般化，以平衡每个簇中的节点数；并辅以一个降低系统总能量的再平衡算法。该算法可控制簇的数量并导致图的“良好居中”划分。我们给出了确立线性复杂度的理论结果，并在代数多重网格背景下的数值结果凸显了改进聚类的益处。