一种用于分数优化问题的不精确变变量度近似梯度-次梯度算法

本文研究一类分数优化问题，其中目标函数的分子是凸函数与梯度连续 Lipschitz 的可微函数之和，分母为非光滑凸函数。该模型具有广泛的应用前景，涵盖文献中Several important optimization problems。为解决这些问题，我们提出一种不精确变变量度proximal梯度-次梯度算法(iVPGSA)，据称是首个专为求解此类分数问题设计的不精确近似算法。通过引入变变量度proximal项并允许在灵活的误差准则下求解子问题，所提算法对更广泛的问题更具适应性，同时实现了 favorable computational efficiency。 在温和假设下，我们证明了iVPGSA生成的序列的任何accumulation point都是目标问题的临界点。此外，我们发展了改进的Kurdyka-{\L}ojasiewicz(KL)-based分析框架，以证明整个序列的全局收敛并刻画其收敛率，无需严格的 sufficient descent property。我们的结果深入揭示了KL指数和不精确性如何影响收敛率。所提出的分析框架也可能作为研究广泛不精确算法收敛率的理论工具。最后，在 $\ell_1/\ell_2$ Lasso问题和受约束的 $\ell_1/\ell_2$稀疏优化问题上进行数值实验，表明iVPGSA在比较现有算法方面表现优异。