一种不精确的通用下降方法及其在微分方程约束优化中的应用
最优化与控制
2025-10-21 v1 数值分析
数值分析
摘要
在许多应用场景中，梯度计算本质上是近似的，这推动了开发能够在不精确的一阶信息下仍保持可靠性的优化方法。常见策略是自适应评估，即在早期迭代中使用粗糙的梯度，并在接近最小值时进行细化。这在微分方程约束优化(DECO)中尤为 Relevant，因为离散 adjoint 梯度依赖于迭代求解器。针对DECO的应用场景，本文提出一种不精确的通用下降框架，并在两种步长情形下建立其全局收敛理论。对于有界步长，分析假设计算梯度的误差容忍度与其范数成比例；而对于递减步长，则要求误差容忍度序列是可 summable 的。该框架通过不精确的梯度下降和一种不精确的BFGS类方法实现，其性能在二阶ODE反问题和二维拉普拉斯反问题上得到验证，均采用自适应精度的离散 adjoint 梯度。在这些例子中，自适应不精确梯度始终显著减少了优化时间，而引入曲率信息进一步提高了整体效率。
引用
@article{arxiv.2510.17581,
title = {An Inexact General Descent Method with Applications in Differential Equation-Constrained Optimization},
author = {Humberto Gimenes Macedo and Luís Felipe Bueno},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.17581},
year = {2025}
}
备注
31 pages, 10 figures