投影梯度法在巴拿赫空间框架下的推广及其在结构拓扑优化中的应用

对于在凸约束下非线性代价泛函 $j$ 的最小化，松弛投影梯度过程 $\varphi_{k+1} = \varphi_{k} + \alpha_k(P_H(\varphi_{k}-\lambda_k \nabla_H j(\varphi_{k}))-\varphi_{k})$ 是一种众所周知的方法。该分析经典上在希尔伯特空间 $H$ 中进行。我们将此方法推广到在巴拿赫空间中可微的泛函 $j$。因此，如果 $j$ 仅在 $L^\infty$ 中可微，则可以执行例如 $L^2$ 梯度法。我们展示了使用 $\alpha_k$ 中的 Armijo 回溯的全局收敛性，并允许内积和缩放 $\lambda_k$ 在每次迭代中改变。作为应用，我们提出了一个基于相场模型的结构拓扑优化问题，其中约化代价泛函 $j$ 在 $H^1\cap L^\infty$ 中可微。所呈现的使用 $H^1$ 内积和包含二阶信息的逐点选定度量的数值结果显示了迭代次数中预期的网格无关性。后者带来了迭代次数和计算时间的额外急剧减少。此外，我们给出了对基于相场模型的进一步优化问题使用 $H^1$ 内积的 BFGS 更新的数值结果。