公平组合优化问题的高效原始对偶算法

我们考虑一类通用的组合优化问题，其中包括分配、多背包、匹配或旅行商等问题。这些问题的标准版本是最大权重优化问题，即优化值的总和。然而，当这些值的分布公平性（对应于例如不同主体的效用或准则）很重要时，求和并非良好的聚合函数。本文中，我们使用广义基尼指数(GGI)这一著名的不平等度量替代求和来建模公平性，提出了一个称为公平组合优化的新通用问题。尽管GGI是非线性聚合函数，但利用Ogryczak和Sliwinski提出的GGI线性化方法，可建立一个$0,1$-线性规划(IP)以寻找GGI最优解。然而，商业求解器（如CPLEX、Gurobi等）求解(IP)所花时间随实例规模急剧增长，即便对规模较小的实例也可达数小时。作为更快的替代方案，我们提出了一种基于拉格朗日分解的原始对偶方法来求解(IP)的启发式算法。我们通过在与匹配相关的若干公平优化问题上对照CPLEX对(IP)的精确解评估我们的方法，证明了该方法的高效性。数值结果表明，我们的方法在极短时间内输出高效解，给出下界，而CPLEX可能需要长几个数量级的时间才能获得。此外，对于已知最优值的实例，这些解为准最优解，最优性间隙小于0.3%。