均匀特征噪声下主动学习的分析

在主动学习中，用户顺序选择特征$X$的值，预言机返回相应的标签$Y$。在本文中，我们考虑主动学习中特征噪声的影响，其可能产生是因为$X$本身被测量，或在传输给预言机时受损，或预言机返回查询点的噪声版本的标签。在统计学中，特征噪声被称为“变量误差”（errors in variables），并在非主动设置中被广泛研究。然而，主动学习中特征噪声的影响此前未被研究。我们考虑著名的 Berkson 变量误差模型，其具有宽度为$\sigma$的加性均匀噪声。我们简单但具启发性的设置是一维二分类设置，其目标是学习一个阈值（正标签概率跨过一半的点）。我们处理在阈值周围大小为$\sigma$的区域内反对称且满足 Tsybakov 边缘条件的回归函数。我们证明了极小极大下界和上界，表明当$\sigma$小于在\cite{CN07}中导出的极小极大主动/被动无噪声误差时，噪声对速率没有影响，并且达到相同的无噪声速率。对于更大的$\sigma$，回归函数在与均匀噪声卷积时的非平坦化，连同其在阈值周围的局部反对称性，共同产生一种噪声似乎有益的行为。我们的关键结果是，即使在存在特征噪声的情况下，主动学习也能比被动策略获得显著改进。