乘积域上无需 4 -wise 独立性的 AMS 方法

Alon、Matias 和 Szegedy 在其开创性工作中引入了多种草图技术，其中包括证明 4-wise 独立性足以获得第二频率矩的良好近似。在本工作中，我们表明他们的草图技术可以通过使用 $[n]$ 上 4-wise 独立函数的乘积，扩展至乘积域 $[n]^k$。我们的工作扩展了 Indyk 和 McGregor 的结果，后者证明了 $k = 2$ 时的情形。他们的主要动机是识别数据流中的相关性问题。在他们的模型中，成对数据流 $(i,j) \in [n]^2$ 到达，形成联合分布 $(X,Y)$，他们找到了在各种度量下近似联合分布与边缘分布乘积接近程度的算法，这自然对应于 $X$ 和 $Y$ 接近独立的程度。利用我们的技术，我们针对 $k$ 元向量（而不仅限于成对）的联合分布与边缘分布乘积之间的 $\ell_2$ 距离近似问题，在单次遍历中获得了一项新结果。我们的分析给出了一种随机算法，该算法以 $1-\delta$ 的概率提供 $(1 \pm \epsilon)$ 近似，所需空间与 $n$ 和 $m$ 呈对数关系，并与 $3^k$ 成正比。