与复合得分相关的仿射不变散度及其应用

在统计分析中，衡量预测性能的得分是一项重要任务。在许多科学领域，人们量身定制了适当的得分以解决手头的问题。proper score（恰当得分）是获得统计一致预测的流行工具。此外，人们研究了 proper score 的数学刻画。结果表明，proper score 对应于 Bregman 散度，这是概率分布集上平方距离的推广。在本文中，我们引入复合得分作为典型得分的推广，以获得更广泛的概率预测类别。随后，我们提出了一类名为 Holder 得分的复合得分，其诱导等变估计量。等变估计量具有优良性质，意味着当数据发生变换时，估计量也会以一致的方式变换。特别是，我们处理数据的仿射变换。利用仿射变换下的等变估计量，可以获得本质上不依赖于测量单位制选择的估计量。反之，我们证明了 Holder 得分由仿射变换下的不变性性质所刻画。此外，我们研究了使用 Holder 得分的估计量在包括回归函数估计和鲁棒参数估计等统计问题中的统计性质，并说明了新引入的得分在统计预测中的有用性。