含噪数据下凸集与凸多胞形的自适应估计

我们在回归框架下估计 $\mathbb R^d,d\geq 2$ 中的凸多胞形和一般凸集。我们使用 $L^1$ 型损失函数度量估计量的风险，并证明了这些风险的上界。我们表明，在多胞形的情形下，这些估计量达到了极小极大速率。对于多胞形，该极小极大速率为 $\frac{\ln n}{n}$，这与非正则族的参数速率相差一个对数因子，且我们证明了该额外因子是本质的。利用多胞形逼近，我们将结果推广至一般凸集，并在相差一个对数因子的意义下达到了极小极大速率。此外，我们提供了一个关于未知多胞形顶点数自适应的估计量，并证明了该估计量在所有具有给定顶点数的多胞形类中都是最优的。