面向分布鲁棒水平集估计的主动学习

在许多情况下，具有高评估代价的黑盒函数 $f$ 依赖于两类变量 $\bm x$ 和 $\bm w$，其中 $\bm x$ 是可控制的\emph{设计}变量，$\bm w$ 是不可控制的\emph{环境}变量，其随机变化遵循某一分布 $P$。在此类情况下，一项重要任务是通过纳入环境变量 $\bm w$ 的随机变化，找出使函数 $f(\bm x, \bm w)$ 具有所需性质的设计变量 $\bm x$ 的范围。鲁棒性的一个自然度量是 $f(\bm x, \bm w)$ 超过给定阈值 $h$ 的概率，在鲁棒优化文献中称为\emph{概率阈值鲁棒性}（PTR）度量。然而，当分布 $P$ 未知时，该鲁棒性度量无法被正确评估。本研究通过考虑\textit{分布鲁棒 PTR}（DRPTR）度量来解决此问题，该度量考虑给定候选分布内的最坏情况 PTR。具体而言，我们研究高效识别可靠集 $H$ 的问题，该集定义为 DRPTR 度量超过某一期望概率 $\alpha$ 的区域，这可解释为 DRPTR 的水平集估计（LSE）问题。我们针对该问题提出一种理论可靠且计算高效的主动学习方法。我们证明了所提方法在收敛性和准确性方面具有理论保证，并通过数值实验确认所提方法优于现有方法。