(误) 用回归进行数据调整

在各种经济应用中，人们希望就某些衡量其表现的量 $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ 比较 $n$ 个单位。然而，后者通常受到单位无法控制的某些因素的影响，因此人们希望从数据中提取调整后的表现。具体而言，设 $X_i \in \mathcal{X}$ 总结第 $i$ 个单位的因素。于是可以考虑模型方程 $Y_i = f_o(X_i) + \epsilon_i$，其中回归函数 $f_o : \mathcal{X} \to \mathbb{R}$ 描述了因素 $X_i$ 的不可避免的影响，而 $\epsilon_i$ 是第 $i$ 个单位的调整后表现。现在一个常见的提议是通过回归方法，利用当前数据 $(X_i,Y_i)$（可能辅以额外的历史数据）将 $f_o$ 估计为函数 $\hat{f}$，并使用残差 $\hat{\epsilon}_i := Y_i - \hat{f}(X_i)$ 作为调整后表现 $\epsilon_i$ 的替代物。在本报告中，我们讨论了这种方法、其潜在的陷阱和（误）解释。特别是，残差 $\hat{\epsilon}_i$ 的一个不可避免的性质是，它们仅测量了调整后表现的一部分，而剩余部分则隐藏在估计函数 $\hat{f}$ 中。文中简要提及了可能的替代方案。