存在复杂干扰分量时的非参数回归理论

在本文中，我们考虑非参数随机回归模型 $Y=f_1(X_1)+f_2(X_2)+\epsilon$，并解决估计函数 $f_1$ 的问题。项 $f_2(X_2)$ 被视为干扰项，其复杂度可能远高于 $f_1(X_1)$。在最小假设下，我们证明了 $f_1$ 估计量的几个非渐近 $L^2(\mathbb{P}^X)$ 风险界。我们的方法是几何性的，基于希尔伯特空间中的考量。它表明，我们估计量的性能与几何量密切相关，例如最小角和 Hilbert-Schmidt 范数。我们的结果建立了新的条件，在这些条件下，$f_1$ 的估计量具有一阶 sharp 上界，该上界与模型 $Y=f_1(X_1)+\epsilon$ 中 $f_1$ 的相应估计量相同。作为一个例子，我们将结果应用于分量数量非常大或干扰分量平滑度远低于 $f_1$ 的加法模型。特别是，这些结果适用于分量数量允许随样本量增加的渐近场景。