高维回归设定下估计信号水平的零估计量方法

协变量个数大于样本量的高维数据分析是当前备受关注的话题。在此类设定中，一个重要目标是估计信号水平 $\tau^2$ 与噪声水平 $\sigma^2$，即量化响应变量的变异中有多少可由协变量解释，又有多少未被解释。本文在半监督设定下考虑这些量的估计，其中许多观测仅给出协变量向量 $X$ 而无响应 $Y$。我们的主要研究问题是：如何利用无标签数据更好地估计 $\tau^2$ 和 $\sigma^2$？我们考虑两种框架：线性回模型与未假设线性的线性投影模型。在第一种框架中，虽使用线性回归，但对系数不作稀疏性假设。在第二种框架中，线性假设也被放宽，我们旨在估计由线性投影定义的信号与噪声水平。我们首先提出一种朴素估计量，在若干假设下于两种框架中均为无偏且一致。接着我们展示如何借助零估计量改进朴素估计量，其中零估计量是由无标签数据得出的、期望值为零的统计量。在第一种框架中，我们计算了最优零估计量改进并讨论逼近该最优改进的方法。在第二种框架中，此种最优性不再成立，我们提出两个虽未必最优但能改进朴素估计量的零估计量。此外，我们证明该方法对一般初始估计量可降低方差，并给出一种可能改进任意初始估计量的算法。最后，我们考虑四个数据集并研究所提方法的性能。