二维逆能量级联的湍流本构定律

我们基于收敛的多尺度梯度(MSG)展开,发展了一种针对二维逆级联的湍流本构定律的基础方法。在梯度的一阶近似下,我们发现由小尺度涡旋产生的湍流应力与应变不成正比,而是与“斜应变”(即旋转$45^\circ$后的应变张量)成正比。来自给定运动尺度的斜应变对该尺度涡旋间的能量通量没有贡献,因此逆级联不可能强烈地尺度局域化。我们表明,这一结论推广了Kraichnan关于谱输运的结果,并且是由于二维中不存在涡旋拉伸所致。这种“弱局域”逆级联机制要求不同尺度应变主方向之间存在相对旋转,我们利用动力学运动方程以及一个启发式模型(即由施加的大尺度应变导致小尺度涡旋“变薄”)来论证这一点。将展开进行到梯度的二阶,我们发现应力中还有两项可对能量级联做出贡献。第一项是牛顿应力,具有由微分应变旋转引起的“涡粘性”;第二项是沿涡量等高线施加的拉伸应力。后者曾被Kraichnan针对均匀应变场中小尺度涡旋波包的非常特殊模型情形所预见。我们证明了二维中微分应变旋转平均速率与涡量梯度拉伸平均速率之间的正比关系,类似于Betchov在三维中的关系。根据这一结果,当涡量等高线在湍流平流作用下平均延长时(这似乎是合理的),二阶应力也将对逆级联做出贡献。